post

Закон на Бернули – константа и уравнение на Бернули

плакат на междузвездни войни

Закон на Бернули е физична закономерност дефинирана от швейцарския физик Даниел Бернули през 18 век, която се изразява математически с уравнението на Бернули.

Теоретична постановка

Като начало ще съставим теоретична постановка, на базата на която, ще изведем уравнението на Бернули.

В стационарен поток на идеален флуид може мислено да се отдели произволна токова тръба. Между две нейни различни сечения Sи S2, на разстояние l едно от друго, има затворен обем течност. За безкрайно малко време dt, флуидът ще се придвижи по посока на токовите линии. При това негово движение, горното му сечение ще се премести на безкрайно малко разстояние dl1, а долното – на dl2.

закон на Бернули

уравнение на Бернули – теоретична постановка

Идеалният флуид е несвиваем, от което следва, че освободеният обем V в горната част на тръбата, е равен на новозапълнения обем V в долната част.

Силите, които действат върху сечението на флуида могат да са насочени в различни посоки. Затова всяка една от тях може да се представи като сума от нормална сила (перпендикулярна на сечението) и тангенциална сила (допирателна към сечението). Към движението на идеален флуид отношение имат нормалните сили на натиск, които създават външното налягане и силата на тежестта.

Уравнение на Бернули

Общата работа, която извършват силите приложени върху двете сечения се представя така:

dA = dl1.(p1.S1) – dl2.(p2.S2) = dV.(p1-p2)

Тъй като работата на външните сили е равна на изменението на механичната енергия dE, би следвало да го изразим математически. Понеже по условие имаме стационарно течение, този участък от придвижващия се обем, който се намира в тъмно синьо оцветената област на горното изображение, не изменя кинетичната и потенциалната си енергия.

Изменението на механичната енергия на целия обем флуид, зависи само от освободения обем в началото на токовата тръба и от новозапълнения в нейния край и разликите в техните енергии. Тъй като разстоянията dl1 и dlса безкрайно малки, двата обема също следва да са такива. И още, понеже са равни, би следвало да се бележат идентично с dV.

Отново от факта, че обемите са безкрайно малки следва, че всички частици в тях се намират на еднакви височини, съответно h1 и h2 и се движат с еднакви скорости – v1 и v2. Оттук изменението на механичната енергия може да се изрази така:

dE = [(ρdVv22)/2 + (ρdVgh2)] – [(ρdVv12)/2 + (ρdVgh1)]

Изразите в малките скоби са съответно за кинетичната и гравитационната потенциална енергия на съответния обем. В тях масата е представена като произведение от плътността и обема: m = ρdV.

Тъй като dE = dA ⇒  [(ρdVv22)/2 + (ρdVgh2)] – [(ρdVv12)/2 + (ρdVgh1)] = dV.(p1-p2),

след съкращаване се получава:  [(ρv22)/2 + (ρgh2)] – [(ρv12)/2 + (ρgh1)] = p– p2 ⇒

прехвърляме членовете двустранно: p2 + (ρv22)/2 + (ρgh2) = p1 + (ρv12)/2 + (ρgh1);

Закон на Бернули

Полученото уравнение е следствие от закона за запазване на масата. То е в сила напълно, когато сеченията Sи Sса безкрайно малки и са около една токова линия. В практически условия равенството е приблизително вярно. Когато то се прилага за хоризонтална токова линия, отсъства изразът за потенциалната енергия и уравнението изглежда така: p2 + (ρv22)/2 = p1 + (ρv12)/2 ;

Горното равенство е в сила за всеки две точки от една токова линия, тъй като в началото на теоретичната постановка бяха избрани две произволни сечения на токовата тръба. От това следва:

  p (ρv2)/2 + (ρgh) = const (уравнение на Бернули);

Законът на Бернули е резултат от полученотото уравнение и той гласи следното: Сумата от налягането, кинетичната и потенциалната енергия на даден обем идеален флуид, е една и съща за всички точки от една токова линия. Константата, която характеризира тази сума е наречена в чест на откривателя на закономерността – константа на Бернули (В).

Константата на Бернули при безвихрово и вихрово течение

Безвихрово течение се нарича такова, при което циркулацията на полето на вектора на скоростта в затворен контур е равна на нула. Вихрово течение е това, при което циркулацията на полето на вектора на скоростта в затворен контур е различна от нула.

При безвихровото течение, В има еднаква стойност за всички точки от обема на течността. При вихровото течение, константата на Бернули притежава равни стойности само за точките от една токова линия.

Сходни Публикации

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *